Beweis ähnlichkeit matrizen

Ist eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix, so ist die Matrix diagonalisierbar. \]

Zwei Matrizen stehen folglich genau dann in Relation, wenn sie ähnlich zueinander sind. \end{align*}

Diese beiden Matrizen sind ähnlich zueinander, denn gemeinsam mit der regulären Matrix

\[ S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

gilt:

\begin{align*} S^{-1}AS &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\[0.75em] &= \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\[0.75em] &= \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\[0.75em] &= B.

\end{align*}

Eigenschaften

Kenngrößen

Für zueinander ähnliche Matrizen $A,B \in \mathcal{K}^{n \times n}$ gelten die folgenden Eigenschaften:

• Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen stimmen überein; es gilt:

  \[ \chi_B(\lambda) = \chi_A(\lambda).

  Ähnliche Matrizen

  Beispiel

  Wir geben für dieses Beispiel die Matrizen A und S vor, also die Matrizen auf der rechten Seite der obigen ersten Gleichung.

  Wenn wir dann die Multiplikation der rechten Seite durchführen, erhalten wir eine Matrix B, die zu der Matrix A ähnlich ist.

  Die Matrix A ist:

  $$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

  Die Matrix S ist:

  $$S = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

  Die inverse Matrix zur Matrix S ist:

  $$S^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

  (Die Inverse ist hier "zufällig" gleich der ursprünglichen Matrix S.)

  Nun die Matrizen multiplizieren:

  $$B = S^{-1} \cdot A \cdot S$$

  $$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =$$

  $$\begin{pmatrix}0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

  $$B = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

  $$B = \begin{pmatrix}0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix}$$

  $$B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

  Diese Matrix B ist nun ähnlich zur Matrix A.

  Eigenschaften ähnlicher Matrizen

  Ähnliche Matrizen haben

  Ähnlichkeit von Matrizen, Problem der Diagonalisierbarkeit

  Bei Endomorphismenf:V→V (mit n=dimV<∞) betrachten wir DarstellungsmatrizenA bezüglich derselben BasisB={b1​,…,bn​} in Urbildraum gleich Bildraum V.

  Bei einem BasiswechselB→B′ mit zugehörigen Koordinaten-Transformationen ξ′=T⋅ξ gilt für die DarstellungsmatrizenA′=T⋅A⋅T−1 mit einerregulären MatrixT (siehe Folgerung 816E). Wenn wir f∈EndK​(V) diagonalisieren möchten, wählen wir eine beliebige BasisA von V und diagonalisieren MAA​(f) als Matrix.

  Bemerkung

  1. Dies ist wieder eine mengentheoretische Äquivalenzrelation in Mat(n×n,K).

     Da MEE​(f)=A folgt die Behauptung aus (i).

     Beispiel

     Es gilt (10​02​)≈(10​12​), denn für S=(10​11​) gilt S−1=(10​−11​) und S−1⋅(1102​)⋅S=(10​−11​)⋅(1102​)⋅(10​11​)=(10​−11​)⋅(10​22​)=(10​02​)

     (10​12​) ist also diagonalisierbar. Damit gilt D=S−1AS=MSE​(id)⋅MEE​(f)⋅MES​(id)=MSS​(f). Es handelt sich um eine Äquivalenzrelation.

     Satz 817H (Diagonalisierbarkeit und Eigenvektoren)

     f:V→V (dimV=n<∞) ist diagonalisierbar⟺ Es existiert eine BasisB={b1​,…,bn​} von V aus Eigenvektoren mit der Eigenschaft ∀k=1n​f(bk​)=λk​bk​ mit λk​∈K. Für die Äquivalenzklasse einer Matrix $A \in \mathcal{K}^{n \times n}$ gilt exemplarisch:

     \[ \lbrack A \rbrack = \Bigl\{ B \in \mathcal{K}^{n \times n} \mid \exists S \in \mathcal{K}^{n \times n} : B = S^{-1}AS \Bigr\}.

     Vorläufiges Normalformenproblem: Welche Matrizen sind einer Diagonalmatrix ähnlich?