Räta linjer punkter

Hem / Teknik & Digitalt / Räta linjer punkter

Att räkna ut lutningen för en linje görs genom

$k = \frac{förändring \ i \ y-led}{förändring \ i \ x-led}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Man börjar alltid till vänster i grafen och går åt höger, dvs att den punkt innehållande lägst x-värde blir vår första punkt.

Bestäm lutningen k för den räta linjen genom de två punkterna $(2,1)$ och $(4,2)$.

Vi sätter in \(k\)-värdet i räta linjens ekvation för att lösa ut \(m\):

$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$

$$m=y-x$$

Vi vet två punkter på linjen, vi väljer någon av dem och sätter in i ekvationen. har \(k=1\).

Räkna ut var linjer skär \(y\)-axeln

Härnäst ska vi visa två metoder för att ta reda på \(m\)-värdet.

Båda två fungerar ju eftersom att båda ligger på linjen, de kommer alltså att resultera i samma k eller m-värde.

Vi stoppar in (2,4) i $y=x+m$

$4 = 2 + m$

$4-2=m$

$m=2$

Dvs att den räta linjen kan skrivas som

$y=x+2$


Skärningspunkten mellan två linjer

Två räta linjer som inte är parallella eller ligger “i varandra” kommer alltid att ha en skärningspunkt, och aldrig fler än en.


där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln
och by-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

Med en annan formulering är riktningskoefficienten den ordinata ökning, som svarar mot en abskissa ökning på ett.

Linjer parallella med x-axeln har noll riktningskoefficient.

Linjer som parallella med y-axeln har riktningskoefficienten ± ∞

Två parallella linjer har samma riktningskoefficient.

När två linjer har samma riktningskoefficient, är linjerna parallella.

När två linjer är vinkelräta, är produkten av deras riktningskoefficienter lika med -1.

α = α1 + 90º
k = tan(α) = tan(α1 + 90º) = - tan[180º - (α1 + 90º)] = - tan(90º - α1) =
  = - cot α1 = -

Vinkel α mellan två räta linjer, vilkas vinkelkoefficeinter är k1 och k2, erhålles ur ekvationen:

k-form

Räta linjens ekvation i k-form är

y = k x + m.

där k = riktningskoefficienten,
     m = linjens avskärning på y-axeln

utanför svenska skolor är vanliga formen: y = mx + b
    m = riktningskoefficienten (-b/a från interceptform)
    b = y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

Det vi gör för att hitta m-värdet är att sätta in någon punkt som vi vet finns på linjen, i vår ekvation. För alla punkter längs den räta linjen gäller sambandet

$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}\Rightarrow 1=\frac{y-8}{x-3}$$

Multiplicera upp nämnaren. om man köper en vara som kostar \(a\) kr/kg beräknas kostnaden med \(y=ax\).

Vi sätter

$$(x_1, y_1)=(0, 5)\;\text{och}\;(x_2, y_2)=(3, 8)$$

Sätt in punkterna i formeln för att beräkna k-värdet:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-5}{3-0}=\frac{3}{3}=1$$

Vi vet att detta stämmer, då funktionen har formen \(f(x)=x+5\), dvs.

Exempel: Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (0, 3) och (4, 9).

Parameterformen

för räta linjens ekvation är

x = x0 + t cos α ,  y = y0 + t sin α,

där (x0, y0) är en punkt på linjen, α linjens riktningsvinkel och t en parameter.

Att två linjer är parallella innebär att avståndet mellan båda linjerna är konstant.

Alltså - Parallella om : samma lutning (k) men olika m-värden.

Är linjerna parallella?
$y=2x-1$ och $y=x+1$

Vi ser att k-värdena skiljer, $k_1=2$ och $k_2=1$

Ett krav för att linjerna ska vara parallella är att de har samma k-värde, vilket inte är fallet.

\((0,\,5)\) och \((3,\,8)\). Den brukar betecknas med k i skolorna i Sverige (med m i övrigt i världen).

Enpunktsform

Formen

y - y1 = k(x - x1)

där (x1,y1) är en punkt på linjen och k är riktningskoefficient, kallas enpunktsformen för räta linjens ekvation.

Avståndsformler

Avståndet mellan två punkter (x1,y1) och (x2,y2) är:

Mittpunktsformeln

Om M(x0,y0) är mittpunkten på en sträcka, vars ändpunkter är A (x1,y1) och B (x2,y2) gäller formlerna

Tyngdpunktsformeln

Om en triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3) är tyngdpunktens koordinater

Delningsformeln

Areaformeln (Ytformeln)

En triangel har sina hörn i punkternaA(x1,y1), B(x2,y2) och C(x3,y3).
Arean av ΔABC får om vi drar arean av ABEDtrapets från summan av areor av ACFD och BCFE trapetser.

När k-värdet är \(0\), är \(y=0x+m\).

räta linjer punkter

Även definieras det med kvoten av skärningspunkts koordinater så eller . Det här kan undersökas genom att använda algebra.

Linjen skär koordinataxlarna

Koordinaterna där den räta linjen skär koordinataxlarna kan uppskattas visuellt eller beräknas genom att använda algebra.

Riktningskoefficient

Koordinaterna där den räta linjen skär koordinataxlarna kan uppskattas visuellt eller beräknas genom att använda algebra.

Vertikala och horisontala linjer

Ekvationen av vertikala och horisontala linjer är enkla eftersom k-värdet saknas.

den punkt där \(x=0\) och \(y=5\).

Räkna ut lutning på en rät linje

Givet två punkter på linjen \((x_1, y_1)\) och \((x_2, y_2)\) så kan vi med följande formel räkna fram lutningen:

$$k=\frac{\text{Förändring i}\;y\text{-led}}{\text{Förändring i}\;x\text{-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Exempel 4

Antag den räta linjen \(y=x+5\) med följande värdetabell.

\(x\)\(y\)
05
16
27
38
49

Välj två godtyckliga punkter från tabellen, t.ex.

En punkt kan befinna sig på, över eller under en linje. Du kan plotta linjen genom att först identifiera två punkter..

En punkt på linjen?